$(A + B) . B$ এর সরলীকৃত মান হলো-

Created: 2 months ago | Updated: 2 months ago

Updated: 2 months ago

ক

0
খ

1
গ

A
ঘ

$A$

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত রাশিটি হলো:

\[ \overline{\left(\overline{\overline{A}}+B\right) \cdot B} \]

বুলিয়ান অ্যালজেব্রার নিয়ম অনুযায়ী, আমরা ধাপে ধাপে রাশিটি সরল করব:

প্রথমে innermost negation (ভেতরের নট) অপারেশনটি সম্পন্ন করি। দ্বৈত পরিপূরক নীতি (Double Complementation Law) অনুযায়ী, $ \overline{\overline{A}} = A $।

সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:

এবার আমরা De Morgan's Theorem (ডি-মরগ্যানস উপপাদ্য) ব্যবহার করব। ডি-মরগ্যানস উপপাদ্য অনুযায়ী, $ \overline{X+Y} = \overline{X} \cdot \overline{Y} $।

সুতরাং, $ \overline{A+B} $ এর পরিবর্তে $ \overline{A} \cdot \overline{B} $ লিখলে রাশিটি হবে:

এখন ভেতরের অংশটিকে সরল করি। আমরা জানি, গুণনের ক্ষেত্রে সহযোগী সূত্র (Associative Law) প্রযোজ্য, অর্থাৎ $ (X \cdot Y) \cdot Z = X \cdot (Y \cdot Z) $।

তাহলে, $ \left(\overline{A} \cdot \overline{B}\right) \cdot B $ কে $ \overline{A} \cdot (\overline{B} \cdot B) $ আকারে লেখা যায়।

পরিপূরক নীতি (Complementation Law) অনুযায়ী, $ B \cdot \overline{B} = 0 $।

সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:

যেকোনো বুলিয়ান ভেরিয়েবলের সাথে 0 গুণ করলে ফলাফল 0 হয় (Annulment Law)।

অর্থাৎ, $ \overline{A} \cdot 0 = 0 $।

সুতরাং, রাশিটি সরল হয়ে দাঁড়ায়:

পরিশেষে, 0 এর পরিপূরক (NOT 0) হলো 1।

অতএব, প্রদত্ত রাশিটির সরলীকৃত মান হলো 1।

সঠিক উত্তর: 1

Satt AI

2 months ago

MCQ: 29

Practice

বুলিয়ান উপপাদ্য

আমাদের প্রচলিত এলজেবরার মতোই বুলিয়ান এলজেবরার বেশ কিছু উপপাদ্য রয়েছে। এর মাঝে পুরুত্বপূর্ণ কয়েকটি নিচে দেখানো হলো। বুলিয়ান এলজেবরা যেহেতু [0, 1] সেট দিয়ে তৈরি তাই চলকের (Variable) মান একবার 0 এবং আরেকবার 1 বসিয়ে এই উপপাদ্যগুলো খুবই সহজেই প্রমাণ করা যায়।

এখানে বেশ কিছু উপপাদ্য আমাদের পরিচিত এলজেবরার সাথে সম্পত্তিপূর্ণ আবার বেশ কিছু উপপাদ্যের পরিচিত উপপাদ্যের সাথে মিল নেই।

x.x = 0

উদাহরণ : বিভাজন উপপাछx + y2 = (x + y) (x + 2) টি প্রমাণ কর।

উত্তর : ডানদিক (x + y) (x + 2)

= xx + xz + yx + yz

= x + xz + yx + yz Idempotent x.x = x

= x(1+ z) + yx + yz

= x + yx + yz

Domination 1+ z = 1

= x(1 + y) + yz

= x + yz

Domination 1. 1 + y = 1

= বাম দিক (প্রমাণি)

উদাহরণ : ডি মরগানের উপপাদ্য দুটি প্রতি ক্ষেত্রের জন্য মান বসিয়ে প্রমাণ কর ।

উত্তর : এখানে যেহেতু x এবং y দুটি চলক রয়েছে, দুটিরই মান হওয়া সম্ভব 0 এবং 1 কাজেই সর্বমোট ২৭ বা চারটি ভিন্ন মান হওয়া সম্ভব। প্রত্যেকটির জন্য আলাদাভাবে দেখা যেতে পারে।

নিজে কর : বুলিয়ান এলজেবরার ভেতর কোন কোন উপপাদ্যগুলো আমাদের পরিচিত এলজেবরার উপপাদ্য থেকে ভিন্ন। (Hint : চলক x, y, z এর জন্য 0 এবং 1 -এর বাইরে কোনো মান বসানো হলে যেগুলো কাজ করে না সেগুলো পরিচিত এলজেবরার উপপাদ্য থেকে ভিন্ন।)

আমাদের পরিচিত সাধারণ এলজেবরায় আমরা যেরকম বেশ কিছু চলক ব্যবহার করে অন্য আরেকটি বড় এক্সপ্রেশন তৈরি করতে পারি, বুলিয়ান এলজেবরার বেলাতেও সেটা সত্যি। সাধারণ এলজেবরার মতো বুলিয়ান এলক্ষেরাতেও আমরা বুলিয়ান উপপাদ্যগুলো ব্যবহার করে সেগুলো অনেক সরল করে ফেলতে পারি। যেমন ধরা যাক x, y এবং z এই তিনটি চলক ব্যবহার করে নিচের এক্সপ্রেশনটি লেখা হয়েছে :

xyz + xy + x

এটাকে আমরা এভাবে সরল রুপ দিতে পারি :

xyz + xy + x = xy ( 2 + 1 ) + x = xy + x = x y + 1) = x

এটাকে সরল করার জন্য আমরা domination উপপাদ্য 2 + 1 = 1 এবং y + 1 = 1 ব্যবহার করেছি।

: xyz + x 77 + xyz + xyz এক্সপ্রেশনটিকে সরল করা।

: xyz + xyz + xyz + xyz

= xz(y + y) +xz (y+y)

= x2 + x 2 যেহেতু (y + y) = 1

= 2 (x + x)

= 2 যেহেতু (x + x) = 1

আমরা যখন ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের শুরুতে নানা ধরনের পেট নিয়ে আলোচনা করব তখন দেখব বুলিয়ান এলজেবরার এভাবে একটি বড় এবং জটিল এক্সপ্রেশনকে সরল করতে পারলে একটি জটিল সার্কিটকে অনেক ছোট করে ফেলা যায়।